1) On étudie l’expression ci-dessous :
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1 |
n |
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___ |
S |
(Xi – m )2 |
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n |
i = 1 |
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On a évidemment :
Xi – m = Xi – M + M – m
D’où, en développant le carré :
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1 |
n |
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1 |
n |
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___ |
S |
(Xi – m )2 |
= |
___ |
S |
[(Xi – M)2 + (M - m)2
+ 2 (Xi – M) x (M – m)] |
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n |
i = 1 |
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n |
i = 1 |
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On en déduit :
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1 |
n |
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1 |
n |
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1 |
n |
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2 |
n |
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___ |
S |
(Xi–m)2 |
= |
___ |
S |
(Xi–M)2 |
+ |
___ |
S |
(M-m)2 |
+ |
___ |
S |
(Xi–M) x ( M–m) |
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n |
i=1 |
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n |
i=1 |
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n |
i=1 |
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|
n |
i=1 |
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On vérifie facilement que le dernier terme de la somme est nul :
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n |
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S |
(Xi – M) |
= |
0 |
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i = 1 |
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On en déduit :
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1 |
n |
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____ |
S |
(Xi – m)2 |
= |
S2 |
+ |
(M – m)2 |
|
n |
i = 1 |
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2) On sait que l’espérance d’une somme est la somme des espérances. On a donc :
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1 |
n |
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____ |
S |
E(Xi – m)2 |
= |
E(S2) |
+ |
E(M – m)2 |
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n |
i = 1 |
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On sait que :
E(Xi – m)2 = s2
On reconnaît aussi la variance de l’estimateur M dans le second membre :
E(M – m)2 = s2 / n
On en déduit :
s2 = E(S2) + s2 / n
Soit :
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E(S2) = (n – 1) s2 / n |
L’estimateur S2 de la variance s2 est donc biaisé. Son espérance tend vers s2 lorsque n tend vers l’infini : il est asymptotiquement sans biais.
Cette propriété explique pourquoi, sur la plupart des calculatrices, deux formules sont proposées pour calculer la variance. Les anglosaxons utilisent presque systématiquement l’estimateur sans biais S’2 :
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S’2 = n S2 / (n – 1) |